2 El nmero f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mximo local. + ( /ColorSpace /DeviceRGB x , y 4 = 2 2 9, w 4 f 2 y x , endobj ( x , = y y En los siguientes ejercicios, trace un grfico de la funcin. y x x 2. ( = , Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. , y 30 x Condiciones Suficientes para la existencia de extremos locales de funciones . 2. Extremos Libres de funciones de varias variables: | Definicin 1 | Definicin 2 |. , = = 3 2 4 2 5 y ( x x ) Describa las curvas de nivel para varios valores de cc por z=x2 +y2 2 x2 y.z=x2 +y2 2 x2 y. Halle la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descrbala. 9 x f x x 16 absoluto es un valor para el que la funcin toma el mayor ( menor) z 2 ( , ), Derecho Penal. z e Diferenciabilidad de funciones de varias variables U. D. de Matemticas de la ETSITGC Asignatura: Mtodos Matemticos 4 19.- a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la derivada dz/dt a lo largo de la curva x=cost, y=sent, siendo xz e seny y evaluar si, en t=/2, z es creciente o decreciente. 0 8 2 f Un mximo ( mnimo) = La definicin de una funcin de dos variables es muy similar a la de una funcin de una variable. Halle la superficie de nivel para la funcin f(x,y,z)=4x2 +9y2 z2 f(x,y,z)=4x2 +9y2 z2 correspondiente a c=1.c=1. x , 5, f = = z ejercicios y problemas resueltos con solucin de funciones de varias variables matemticas universidad UNED http://profesor10demates.blogspot.com.es/ La prueba de la segunda derivada para una funcin de dos variables, enunciada en el siguiente teorema, utiliza un discriminante DD que sustituye a f(x0)f(x0) en la prueba de la segunda derivada para una funcin de una variable. ) 2 x x x f Observe que en la derivacin anterior es posible que hayamos introducido soluciones adicionales al elevar al cuadrado ambos lados. curva de nivel de una funcin de dos variables, Mapa de lnea de contorno de la funcin. 25 + Una funcin de dos variables z=f(x,y)z=f(x,y) aplica cada par ordenado (x,y)(x,y) en un subconjunto DD del plano real 2 2 a un nico nmero real z.z. = 2 ; 4 Llamamos a las derivadas parciales de \(f\) en \(a\) del siguiente modo: Y definimos el Hessiano de \(f\) en \(a\) como, Si \(H > 0\) y \(A<0\), entonces \(f\) tiene un mximo local en \(a\), Si \(H > 0\) y \(A>0\), entonces \(f\) tiene un mnimo local en \(a\), Si \(H < 0\), entonces \(f\) tiene un punto de silla en \(a\). y ) Halle el extremo absoluto de la funcin dada en el conjunto cerrado y delimitado indicado R.R. = ) = 2 x La compaa Pro-TT ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del nmero x de pelotas de golf vendidas al mes (medido en miles) y del nmero de horas al mes de publicidad y, segn la funcin. 2 , Tambin tenemos que hallar los valores de f(x,y)f(x,y) en las esquinas de su dominio. Verifique el grfico mediante tecnologa. Se dice que es un mximo local de si existe un entorno reducido de centro , en smbolos (), donde para todo elemento de se cumple () ().Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse () < ().. Anlogamente se dice que el punto es un mnimo local de si existe . Exprese el volumen del tanque como una funcin de dos variables, xyy,xyy, halle V(10,2 ),V(10,2 ), y explique lo que significa. , x x 2 + + 36 10 25 Mientras ms trates de modelar el mundo real, ms te dars cuenta de lo restrictivo que es el clculo de una sola variable. f h = = L3L3 es el segmento de lnea que une (0,25)y(50,25),(0,25)y(50,25), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=t,y(t)=25x(t)=t,y(t)=25 por 0t50.0t50. En esta ecuacin, tanto f(x) y g(x) son funciones de una variable. , x x z Entonces, cada punto del dominio de la funcin ff tiene un nico valor z z asociado a l. 2 , y x x + herramienta de citas como, Autores: Gilbert Strang, Edwin Jed Herman. y 3 Halle el punto de la superficie f(x,y)=x2 +y2 +10f(x,y)=x2 +y2 +10 ms cercano al plano x+2 yz=0.x+2 yz=0. f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1)f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1) grandes. x 2 4 4 2 f + = , El conjunto DD se llama el dominio de la funcin. , Ahora que sabemos que cualquier funcin continua ff definida en un conjunto cerrado y delimitado alcanza sus valores extremos, necesitamos saber cmo hallarlos. + 1, f El nmero mximo de pelotas de golf que se pueden producir y vender es 50000,50000, y el nmero mximo de horas de publicidad que se puede adquirir es 25.25. 2 , [T] f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 )f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 ). ) 2 ( 0 x x c x = y f y + 2 ( 2 x endobj x 4 W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . 9 estn autorizados conforme a la, Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares, rea y longitud de arco en coordenadas polares, Ecuaciones de lneas y planos en el espacio, Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio, Diferenciacin de funciones de varias variables, Planos tangentes y aproximaciones lineales, Integrales dobles sobre regiones rectangulares, Integrales dobles sobre regiones generales, Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas, Clculo de centros de masa y momentos de inercia, Cambio de variables en integrales mltiples, Ecuaciones diferenciales de segundo orden, Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series. 8 Una fina placa de hierro se encuentra en el plano xy.xy. 2 x , 3 = ( ( El mtodo de los multiplicadores de Lagrange se introduce en Multiplicadores de Lagrange. = ) 2, f = x y x 7, f y + z En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la funcin. y , Un hiperboloide de una hoja con algunas de sus superficies de nivel. , Todo el procedimiento consta de varios pasos, que se resumen en una estrategia de resolucin de problemas. x Halle tres nmeros positivos cuya suma es 27,27, de manera que la suma de sus cuadrados sea lo ms pequea posible. El nmero f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mnimo local. x x ( El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una funcin de dos variables, V(x,y)=x2 y,V(x,y)=x2 y, donde xx es el radio del cilindro circular recto e yy representa la altura del cilindro. 4, w y Por tanto, se trata de un punto de silla. + f 2 Halle los valores de x y de y para maximizar los ingresos totales. La principal diferencia es que, en vez de aplicar valores de una variable a valores de otra variable, asignamos pares ordenados de variables a otra variable. Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mnimo global (tambin llamado mnimo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0). 0. endobj L2 L2 es el segmento de lnea que une y (50,25),(50,25), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=50,y(t)=tx(t)=50,y(t)=t por 0t25.0t25. , f x 1.Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones: Usaremos la notacin f0 x << /S /GoTo /D (subsection.5.3) >> z Como y = 0 , de la primera ecuacin tenemos, Por tanto, el Hessiano en dichos puntos es. 1 W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . ( f + ) c Dada la funcin z=f(x,y),z=f(x,y), el punto (x0,y0,f(x0,y0))(x0,y0,f(x0,y0)) es un punto de silla si fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0, pero ff no tienen un extremo local en (x0,y0).(x0,y0). 2 = = y y 2 El dominio de esta funcin es 0x500x50 y 0y250y25 como se muestra en el siguiente grfico. , S( ( ( ( o:o1iK1q7_kWOwOI>=nc^9]=kM S $ ?;/I5E}*~ 0j' `?2O*(] `?2O dXTQ$;#w d_{~ .u}NmGP{ZB"@ ?;+w'5 0OYIs^^`i3FA-[wQE|aEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEvs!6P2M ~m~_mGVlES* |5yW&" .O$$MVlRX :5(c4cJamF&" (MS'%*m'># /'>$0j'rdnuO5O 5Ok9W`d}YZPL,hFI2 |= ?[z|"\ds|LUI. EW9QE QE QE QE QE QE |qh6=2{5Y.#r5 q W2+>8f?s_O-O(7N2tN |>'K/&Kl|TqcW/t~-|NXR7|XG^CEWX,2~z )-}Q|D//=fWki-D&y{%>6? A1i%yY